രത്നങ്ങള്‍ കൊടുക്കാമോ?

സയന്‍സ് അങ്കിളിനു ശ്രീലാല്‍ എന്ന സുഹൃത്ത് അയച്ച മെയില്‍ ആണ് താഴെക്കൊടുക്കുന്നത്.

പ്രിയ സയന്‍സ് അങ്കിള്‍,

താങ്കളുടെ ശാസ്ത്രസംബന്ധിയായ ബ്ലോഗ് ഇന്നാണ് കാണുന്നത്. വളരെ കൌതുകകരമായിത്തോന്നുന്നു. കുട്ടികള്‍ക്കുമാത്രമല്ല മുതിര്‍ന്നവര്‍ക്കും ഉപകാരം ചെയ്യും ഇത്തരം ബ്ലോഗുകള്‍.

ഈയിടെ എന്റെ ഒരു സുഹൃത്ത് ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നിങ്ങളോടു ചോദിക്കാമല്ലോ എന്ന് ഇത് വായിച്ചപ്പോള്‍ ആണ് തോന്നിയത്. ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ആരോ പറഞ്ഞ് അറിയാമെങ്കിലും അതു കണ്ടുപിടിക്കുന്ന വഴി അറിയില്ലായിരുന്നു എന്റെ സുഹൃത്തിന്.

ഒന്നു സഹായിക്കുമോ..?

ചോദ്യം ഇതാണ്.
4 വാതിലുകള്‍ ഉള്ള ഒരു കൊട്ടാരം. നിങ്ങളുടെ കയ്യില്‍ കുറെ രത്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടു. അതില്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക് ഇഷ്ടമുള്ള അത്രയും രത്നങ്ങള്‍ ഒരോ വാതിലിലും കൊടുക്കാം. പക്ഷേ നിങ്ങള്‍ എത്ര കൊടുത്താലും, അത് ഒരോ വാതിലിലും ഒരേ പോലെ തന്നെ ആവണം. ഉദാ – നിങ്ങള്‍ 10 ആണ് കൊടുക്കുന്നതെങ്കില്‍, എല്ലായിടത്തും 10 തന്നെ കൊടുക്കുക… നിങ്ങള്‍ എത്ര കൊടുത്താലും, നിങ്ങളുടെ കയ്യില്‍ ബാക്കി ഉള്ള അത്രയും ഒരോ വാതിലും തിരിച്ചു തരും…. അങ്ങനെ അവസാനം നാലാമത്തെ വാതിലില്‍ വരെ നിങ്ങള്‍ രത്നം കൊടുക്കണം…. അവസാനം ഒന്നും ശേഷിക്കരുത്!

ഉത്തരം ഇതാണ്.
ആകെ രത്നങ്ങളുടെ എണ്ണം – 75
ഓരോ വാതിലിലും കൊടുക്കുന്നത് 40 എണ്ണം വീതം.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കുന്ന വഴിയാണ്
അറിയാത്തത്. ഒന്നു സഹായിക്കണേ.
നന്ദി,
ശ്രീലാല്‍

നമുക്ക് അതിന്റെ ഉത്തരം ലളിതമായി ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കണ്ടെത്താന്‍ ശ്രമിക്കാം.

ആകെ കയ്യിലുണ്ടായിരുന്ന രത്നങ്ങള്‍ N എന്നിരിക്കട്ടെ.
ഓരോ വാതിലിലും Y രത്നങ്ങള്‍ കൊടുക്കുന്നു എന്നും വിചാരിക്കുക.

ഒന്നാമത്തെ വാതിലില്‍
കൊണ്ടുവന്നത് = N
കൊടുത്തത് = Y
മിച്ചമുള്ളത് = N – Y
വാതില്‍ നിന്നും കിട്ടിയത് = N – Y
ആകെ ഇപ്പോള്‍ കയ്യിലുള്ളത് = ( N – Y) + (N – Y) = 2N – 2Y

രണ്ടാമത്തെ വാതിലില്‍
കൊണ്ടുവന്നത് = 2N – 2Y
കൊടുത്തത് = Y
മിച്ചമുള്ളത് = (2N – 2Y) – Y = 2N – 3Y
വാതില്‍ നിന്നും കിട്ടിയത് 2N – 3Y
ആകെ ഇപ്പോള്‍ കയ്യിലുള്ളത് ( 2N – 3Y) + (2N – 3Y) = 4N – 6Y

മൂന്നാമത്തെ വാതിലില്‍
കൊണ്ടുവന്നത് = 4N – 6Y
കൊടുത്തത് = Y
മിച്ചമുള്ളത് = (4N – 6Y) – Y = 4N – 7Y
വാതില്‍ നിന്നും കിട്ടിയത് = 4N – 7Y
ആകെ ഇപ്പോള്‍ കയ്യിലുള്ളത് = ( 4N – 7Y) + (4N – 7Y) = 8N – 14Y

നാലാമത്തെ വാതിലില്‍
കൊണ്ടുവന്നത് = 8N – 14Y
കൊടുത്തത് = Y
മിച്ചമുള്ളത് = (8N – 14Y) – Y = 8N – 15Y
പക്ഷേ നാലാമത്തെ വാതിലില്‍ രത്നം കൊടുത്തു കഴിഞ്ഞാല്‍ മിച്ചം ഒന്നും
കാണരുത്! അതായത് മിച്ചം പൂജ്യം ആയിരിക്കണം!
അതായത്, 8N – 15Y = 0 ആയിരിക്കണം

N = (15 Y) / 8

Y ക്ക് 8, 16, 24, 32, 40, 48 തുടങ്ങിയ 8 ന്റെ ഗുണിതങ്ങള്‍ വില നല്‍കിയാല്‍
(എങ്കിലല്ലേ പൂര്‍ണ്ണ സംഖ്യകള്‍ ഉത്തരം കിട്ടൂ…)

യഥാക്രമം
Y=8; N=15
Y=16; N=30
Y=24; N=45
Y=32; N=60
Y=40; N=75
Y=48; N=90
അങ്ങനെ അങ്ങനെ അങ്ങനെ…..

N ആകെ കൊണ്ടുവന്ന രത്നങ്ങളുടെ എണ്ണവും Y വാതിലില്‍ കൊടുത്ത രത്നങ്ങളുടെ എണ്ണവുമാണ്.

ഇതില്‍ അഞ്ചാമത്തേതാണ് ശ്രീലാല്‍ തന്ന ഉത്തരം. മറ്റൊരുതരത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ ഈ ചോദ്യത്തിന് അനന്തമായ ഉത്തരങ്ങള്‍ ഉണ്ട് എന്നു പറയാം.